Explicación Completa con Ejemplos

Los números enteros incluyen tanto los números naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3,….), como los números negativos (-1, -2, -3…)

El valor opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado:

El opuesto de -3 es 3
El opuesto de 5 es -5

El valor absoluto de un número entero es su valor sin considerar el signo. El valor absoluto de un número entero se expresa |3|.

Ejemplo:

|1| = 1
|-1| = 1

Vemos que un número (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor absoluto.

Al ordenar los números enteros de menor a mayor primero van lo negativos y luego los positivos:

... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 …

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

a) Suma:

Si todos son números enteros positivos se suman igual que los números naturales.

(+4) +(+ 5) + (+6) = 15

(*) Hemos puesto los números dentro de paréntesis con signos positivos para recalcar que son enteros positivos, pero esta suma realmente se escribiría: 4 + 5 + 6 = 15

Si todos son números enteros negativos se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo negativo.

(- 5) + (-7) + (- 4) = |5| + |7| + |4| = |16| = -16

Si hay números enteros positivos y negativos:

(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9)

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 4) + (+2) = 6

Por otro lado sumamos los números negativos:

(-5)+ (-9) = |5| + |9| = -14

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el valor absoluto mayor |14|y como sustraendo el valor absoluto menor |6|.

14 – 6 = 8

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (-14), luego:

(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) = -8

b) Resta:

(+4) – (+5) – (-6)

La resta de números enteros se puede tratar como una suma. Para ello sustituimos el signo de la resta (-) por el de la suma (+) pero al hacer esta sustitución tenemos también que cambiar el signo del número que va restando:

(5) es positivo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (-5).

(-6) es negativo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (6).

La operación queda como una suma:

(+ 4) + (- 5) + (+ 6)

Ahora procedemos igual que en la suma.

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 4) + (+ 6) = 10

Por otro lado sumamos los números negativos:

(- 5) = - 5

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |10|y como sustraendo el de menor valor absoluto |5|.

10 – 5 = 5

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (10), luego:

4 – (5) – (-6) = 5

c) Sumas y restas:

(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9)

Aquellos números que vayan restando sustituimos el signo de la resta por el de la suma y al número le cambiamos el signo:

(+ 7) + (+ 5) + (-2) + (- 9)

Ahora procedemos igual que en la suma.

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 7) + (+ 5) = 12

Por otro lado sumamos los números negativos:

(- 2) + (- 9) = - 11

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |12| y como sustraendo el de menor valor absoluto |11|.

12 – 11 = 1

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (12), luego:

(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) = 1

Veamos otro ejemplo:

(+ 2) - (- 7) - (+2) - (- 9)

Sustituimos los signos de resta por el de suma pero cambiando el signo del valor que va restando:

(+ 2) + (+ 7) + (-2) + (+ 9)

Sumamos los números positivos:

(+ 2) + (+ 7) + (+ 9) = 18

Sumamos los números negativos:

(- 2)

Restamos los valores absolutos:

|18| - |2| = 16

Como el minuendo es positivo el resultado es también positivo

d) Multiplicación

Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos, como si fueran números naturales, pero a continuación hay que prestar atención al signo del resultado:

Si todos los factores son positivos el resultado es positivo.

Si hay factores negativos hay que distinguir:

Si el número de factores negativos es par elresultado es positivo.

Si el número de factores negativos es impar elresultado es negativo.

Veamos algunos ejemplos:

( + 3) x (+ 4) = |3| x |4| = 12 (todos los factores son positivos)

( + 3) x (- 4) = |3| x |4|= -12 (hay un factor negativo: luego el número de factores negativos es impar)

(- 3) x (- 4) = |3| x |4|= 12 (hay dos factores negativos: el número de factores negativos es par, por lo que el resultado es positivo)

Veamos más ejemplos:

(+ 2) x (+ 6) x (+5) = |2| x |6| x |5|= 60

(+ 2) x (+ 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60

(+ 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= 60

(- 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60

e) División

En la división se opera igual que en la multiplicación de números enteros: se dividen los valores absolutos, igual que cuando operamos con números naturales, y a continuación hay que ver el signo del resultado:

Si dividendo y divisor tienen el mismo signo (lo dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo.

Si dividendo y divisor tienen distinto signo (uno es positivo y otro es negativo) el resultado es negativo.

Ejemplos:

(+8) : (+4) = |8| x |4|= 2

(-8) : (-4) = |8| x |4|= 2

(+8) : (-4) = |8| x |4|= -2

(-8) : (+4) = |8| x |4|= -2

f) Potencia

La base puede ser un número entero positivo o negativo, pero el exponente siempre tiene que ser positivo.

El valor absoluto de la base se eleva a la potencia, igual que con los números naturales, pero hay que prestar atención al signo:

Si la base es positiva el resultado siempre es positivo.

Si la base es negativa el signo depende del exponente:

Si el exponente es un número par el resultado es positivo

Si el exponente es un número impar el resultado es negativo.

SU APLICACIÓN EN LA CONTABILIDAD

Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.

Ejercicios para Realizar

1 Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7

2 Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

3 Sacar factor común en las expresiones:

1 3 · 2 + 3 · (−5) =

2 (−2) · 12 + (−2) · (−6) =

3 8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

4 (−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4 Realizar las siguientes operaciones con números enteros:

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

3 9 : [6 : (− 2)] =

4 [(−2)5 − (−3)3]2 =

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2 =

6 [(17 − 15)3 + (7 − 12)2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

5 Realizar las siguientes operaciones con números enteros:

1(7 − 2 + 4) − (2 − 5) =

2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=

3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

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Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}.

Los números enteros no tienen parte decimal: −783 y 154 son números enteros, mientras que 45,23 y −34/95 no. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.